Question

已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，P为AB中点。

（1）如图1，如果点D,点E分别在AC,BC上移动，在移动过程中保持CD=BE,请判断△PDE的形状（理由）
（2）如图2，如果点D,点E分别在AC,CB的延长线上移动，在移动过程中仍保持CD=BE,请问：（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由。
（3）如图3，将一块与△ABC全等的三角板如图放置(DE边与CB边重合），现将三角板绕点C顺时针旋转，当DF边与CA边重合时停止，不考虑起始和结束的情况，设DE，DF(或它们的延长线）分别交AB（或它的延长线）与G，H点（可参考图4），问BG长为多少时，△CGH是等腰三角形？

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Answer 1

解：△PDE是等腰直角三角形．
理由：连接CP．
∵在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，P是AB的中点（已知），
∴CP=AP=BP（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）；
∠B=∠PCB=45°；
在△CPE和△APD中，
CP=AP,∠PCE=∠PAD=45°,CE=AD(已知)
，
∴△OAN≌△OBM（SAS），
∴PE=PD（全等三角形的对应边相等）；
∴∠PDE=∠PED（全等三角形的对应角相等）；
又∵∠APD+∠CPD=90°，
∴∠DPE=∠CPD+∠CPE=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．
(2)同理

Answer 2

1 等腰直角三角形
连结CP 则CP＝AP CE＝AD ∠A＝∠PCE＝45º ∴ΔADP≌ΔCEP
∴PD＝PE ∠DPE＝∠DPC＋∠CPE＝∠DPC＋∠APD＝90º
2 与1相同 BP＝CP BE＝CD ∠PCD＝∠PBE＝135º ∴ΔCPD≌ΔBPE
∴PD＝PE ∠DPE＝∠ DPB＋∠BPE＝∠DPB＋∠CPD＝90º
3 ∠ECF＝45º ∠CFE＝45º 要CG＝HG 则∠AHC＝45º＝∠CFE
∴EF∥AH CG⊥AB BG＝﹙1/2﹚AB＝1

Answer 3

等腰直角三角形
　　连结CP 则CP＝AP CE＝AD ∠A＝∠PCE＝45º
∴ΔADP≌ΔCEP
　　∴PD＝PE ∠DPE＝∠DPC＋∠CPE＝∠DPC＋∠APD＝90º
　　 同理可得 BP＝CP BE＝CD ∠PCD＝∠PBE＝135º
∴ΔCPD≌ΔBPE
　　 ∴PD＝PE ∠DPE＝∠ DPB＋∠BPE＝∠DPB＋∠CPD＝90º
　　 ∠ECF＝45º ∠CFE＝45º
要CG＝HG 则∠AHC＝45º＝∠CFE
　　∴EF∥AH CG⊥AB BG＝﹙1/2﹚AB＝1