Question

已知：如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，当△BDE绕着点B转动

Answer 1

附图中等腰直角三角形欠准确，∠BAC和∠BDE应为直角。撤去Q点及与Q点相连的辅助线，试证明如下。
取BC的中点M，连接MA、MF；取BE的中点N，连接ND、NF,
∵F是CE的中点，M是BC的中点，∴MF∥BE，∠CMF=∠CBE，且MF=BE/2；
∵△ABC是等腰直角三角形，M是斜边BC的中点，∴∠AMC=90°，且AM=BC/2，
于是在△AMF中，∠AMF=∠AMC+∠CMF=90°+∠CBE。
同理可证在△FND中有∠FND=∠FNE+∠END=∠CBE+90°=∠AMF，
FN=BC/2=AM，ND=BE/2=MF，
∴△FND≌△AMF(S.a.S)，FD=FA，△ADF是等腰三角形。

Answer 2

第1问比较容易，cf，df分别是rt⊿ace和rt⊿ade斜边上的中线，而且是同一个斜边ae,
所以cf=df；
∠cfe和∠dfe均是等腰三角形的顶角，
∠cfe=180°－2∠cef
∠dfe=180°－2∠def
又∠cef＋∠def=135°
所以∠cfd=∠cfe＋∠dfe=90°。
第2问
，当e在ab上时，（1）中的结论依然成立。
过f′分别作ac和d′e′延长线的垂线，垂足分别是m和n，
容易证明rt⊿f′cm≌rt⊿f′d′n
由此得到上述结论。

Answer 3

取BC的中点M，BE的中点N
连接AM，DN，MF，NF
∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形
∴AM=CM，DN=EN
∵MF，NF为△BCE的中位线
∴MF=1/2BE=EN=DN，NF=1/2BC=CM=AM
∵MF=NE，MC=NF，FC=EF
∴△CFM≌△FEN
∴∠ENF=∠FMC
又∠DNF=∠DNE+∠ENF，∠FMA=∠AMC+∠FMC
∴∠DNF=∠FMA
在△DNF和△FMA中
由NF=MA，DN=FM，∠DNF=∠FMA
∴△DNF≌△FMA
∴DF=FA
∴△ADF是等腰三角形