Question

求极限lim x->∞时，[x^n+x^(n-1)+1]^(1/n) - x

Answer 1

当x=-1时，极限为1，当x不等于-1时
lim
[(n+x)/(n-1)]^n
=lim
[(1+(1+x)/(n-1)]^[(n-1)/(1+x)]*
[(1+x)/(n-1)]n
底数
[(1+(1+x)/(n-1)]^[(n-1)/(1+x)]趋于e,指数[(1+x)/(n-1)]n趋于x
lim
[(n+x)/(n-1)]^n
=lim
[(1+(1+x)/(n-1)]^[(n-1)/(1+x)]*
[(1+x)/(n-1)]n
=e^x

Answer 2

原式=limx->∞
[(1+1/x+1/x^n)^(1/n)-1]
/(1/x)
=limx->∞1/n*[1+1/x+1/x^n]^(1/n-1)
*
[-1/x^2-n/x^(n+1)]*(-x^2)....【洛必达】
=limx->∞1/n*[1+n/x^(n-1)]=1/n
等价无穷小也得这个，楼上的写错了而已，中间那个不是1/x^2是1/x