Question

高数问题三重积分？

Answer 1

柱被圆锥面挖去一块，根据圆锥与同底等高圆柱的体积关系，知，所求体积=（2/3）πr²h
r²=x²+y²=25，r=5，z=√（x²+y²）=5，V=（2/3）π5²5=250π/3
三重积分：
x=-5~5，y=-√（25-x²）~√（25-x²），z=0~√（x²+y²）
V=∫（-5，5）dx∫[-√（25-x²）,√（25-x²）]dy∫[0,√（x²+y²）]dz

这个题目积分用柱面坐标比较简单：
r=0~5，z=0~r，θ=0~2π
dV=rdθ.dr.dz
V=∫（0，5）rdr∫（0，r）dz∫（0，2π）dθ
=2π∫（0，5）rdr∫（0，r）dz
=2π∫（0，5）r²dr
=2π（r³/3）|（0，5）
=2×5³π/3
=250π/3