Question

如图所示已知在平面直角坐标系中△ABC,∠A=60°,边AB在X轴上AC交Y轴于点,AC，BC的长是关于x的方程

X²-16X+64=0的两个根且OA=1/3OB
（1）求点C的坐标
（2）求直线EB的函数解析式
（3）在（2）的条件下点P是直线EB上的一点在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以O,B,P,Q四点为顶点的的四边形为菱形？若存在，求出点Q的坐标若不存在请说明理由

Answer 1

解：设点A的坐标为（-a，0），点C的坐标为（m，n）

       因为OA=1/3OB，所以点B的坐标为（3a，0）

       由AC，BC的长是关于x的方程X²-16X+64=0的两个根得：AC=BC=8

       又因为△ABC中∠A=60°，AC=BC=8，所以△ABC是正三角形，即AB=4a=8，解得：a=2

       所以A（-2，0），B（6，0）

     （1）由两点间距离公式得：（m+2）^2+n^2=64 解得：m=2，

                                                 （m- 6）^2+n^2=64           n=4倍根号3, 或 n=-4倍根号3（舍去）

              所以点C的坐标为（2，4倍根号3）

     （2）由OA=2，∠A=60°，RT△AOE得：

              OE=2倍根号3，AE=CE=4

              所以点E的坐标为（0，2倍根号3）

              所以直线EB为（y-0）/（2倍根号3-0）=（x-6）/（0-6），

              化简为 y=[（-1/3）倍根号3]*x+2倍根号3

     （3）过点O做OQ//AC，交BC于点Q，过点O做OP//BC交BE于点P，连接PQ

              因为 △ABC是正三角形，OQ//AC

              所以 △BOQ是正三角形，同理可证△OPQ也是正三角形

              所以 四边形BOPQ为菱形