Question

高一数学 求助!!!!!!!!!!!!!急

已知a,b都是正数,并且a不等于b,求证:a5+b5大于a2b3+a3b2

Answer 1

a^5+b^5-(a^2b^3+a^3b^2)
=a^2(a^3-b^3)-b^2(a^3-b^3)
=(a^2-b^2)(a^3-b^3)
因为a>0,b>0a不等于b
所以若a>b
则a^2>b^2,a^3>b^3
(a^2-b^2)(a^3-b^3)>0
所以若a<b
则a^2<b^2,a^3<b^3
(a^2-b^2)(a^3-b^3)>0
所以a^5+b^5-(a^2b^3+a^3b^2)>0
a^5+b^5>a^2b^3+a^3b^2

Answer 2

用逆推法
要证原不等式
即证
（将不等式整理）得 a^2(a^3-b^3)-b^2(a^3-b^3)>0
即证 (a^3-b^3)（a^2-b^2）>0
即证 (a-b)^2(a+b)(a^2+b^2+ab)>0
因为这不等式成立
所以得证

Answer 3

(a5+b5)-(a2b3+a3b2)
=(a^5-a^3b^2)+(b^5-a^2b^3)
=a^3(a^2-b^2)-b^3(a^2-b^2)
=(a^3-b^3)(a^2-b^2)
=(a-b)^2(a+b)(a^2+ab+b^2)
因为a,b都是正数,并且a不等于b
所以(a-b)^2(a+b)(a^2+ab+b^2)>0,
所以a5+b5>a2b3+a3b2