Question

如图,AC,BD为圆O的两条弦,AC,BD相交于点P,AC=BD.

求证:(1)弧AB=弧CD;
(2)BP=CP.

Answer 1

证明：连接AB、CD
∵AC＝BD
∴弧ADC＝弧DAB （等弦对等弧）
∵弧ADC＝弧AD+弧CD，弧DAB＝弧AD+弧AB
∴弧AB＝弧CD
∴AB＝CD （等弧对等弦）
∵∠ABD、∠ACD所对应圆弧都为劣弧AD
∴∠ABD＝∠ACD
∵∠APB＝∠DPC
∴△ABP≌△DCP （AAS）
∴BP＝CP

Answer 2

解：AC=BD
弧AC=弧BD;
弧AC-弧AD=弧BD-弧AD
所以弧AB=弧CD;
2、连接BC
因为弧AB=弧CD;
所以∠ACB=∠DBC
所以PB=PC等腰三角形

Answer 3

AC=BD
弧AC=弧BD;
弧AC-弧AD=弧BD-弧AD
所以弧AB=弧CD;
连接BC
因为弧AB=弧CD;
所以∠ACB=∠DBC
所以PB=PC等腰三角形

Answer 4

作AC、BD的弦心距分别为OE、OF.
连结OP.
（1）
∵AC=BD
∴弧AC=弧BD
∴弧AC-弧AD=弧BD-弧AD
∴弧AB=弧CD
（2）
∵∠OPB=∠OPC
OE=OF
∴△POF≌△POE(AAS)
∴PF=PE。
∵BF=BD/2, CE=AC/2,（垂径定理）
∴BF=CE.
∴PF+BF=PE+CE,
∴BP=CP