Question

一道概率题，求解，求完整解题过程。

假设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日内无故障，可获利10万元，发生一次故障仍可获利5万元，发生两次故障获利0元，发生故障的次数大于或等于3，则亏损2万元，求一周内平均利润是多少万元。

Answer 1

分析：用随机变量ξ表示一周5天内机器发生故障的天数,显然ξ服从二项分布B(5,0.2),因此我们容易求得ξ的分布列,从而可求得ξ=0,ξ=1,ξ=2,ξ≥3对应的所获利润z分别取10(万元)、5（万元）、0（万元）、-2（万元）值时的概率，这样，我们可立即求得E（z）的值。
解：由上面的分析,
P(ξ=k)=C5(k)(0.2)^k(1-0.2)^(5-k)(k=0,1,2,…,5).
所以P(ξ＝0)=(0.8)^5=0.328,
P(ξ=1)=C5(1) 0.2·(0.8)^4=0.410,
P(ξ=2)=C5(2)(0.2)^2·(0.8)^3=0.205.
P(ξ≥3)=1-［P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)］=1-(0.328+0.410+0.205)=0.057
用z表示所获利润,则
z=10 (ξ=0)
z=5 (ξ=1)
z=0 (ξ=2)
z=-2 (ξ=3)
故
P（z=10）=0.328,
P(z=5)=0.410,
P(z=0)=0.205,
P(z=-2)=0.057
所以一周期望的利润为
E（z）=10×0.328+5×0.410+0×0.025+(-2)×0.057=5.216(万元)


追问

P(ξ=k)=C5(k)(0.2)^k(1-0.2)^(5-k)(k=0,1,2,…,5).

这个公式里^符号是什么意思？

追答

就是次方的意思。

Answer 2

预期利润

不坏：0.8^5 * 10 = 0.32786 * 10 = 3.2786

坏一次：5C1 * 0.2 * 0.8^4 * 5 = 0.4096 * 5 = 2.048

坏两次： 5C2 * 0.2^2 * 0.8^3 * 0 = 0.2048 *0 = 0

坏三次以上：（1- 坏两次或以下的概率） * - 2 = （1 - 0.32786 - 0.4096 - 0.2048）*（-2） = -0.05774 * 2 = -0.11548

总和 = 3.2786 + 2.048 + 0 - 0.11548 = 5.21112 = 平均利润

(x^y 读为x的y次方
xCy 为组合数
* 为乘号）

Answer 3

P(ξ=k)=C5(k)(0.2)^k(1-0.2)^(5-k)(k=0,1,2,…,5).
所以P(ξ＝0)=(0.8)^5=0.328,
P(ξ=1)=C5(1) 0.2·(0.8)^4=0.410,
P(ξ=2)=C5(2)(0.2)^2·(0.8)^3=0.205.
P(ξ≥3)=1-［P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)］=1-(0.328+0.410+0.205)=0.057
用z表示所获利润,则
z=10 (ξ=0)
z=5 (ξ=1)
z=0 (ξ=2)
z=-2 (ξ=3)
故
P（z=10）=0.328,
P(z=5)=0.410,
P(z=0)=0.205,
P(z=-2)=0.057
所以一周期望的利润为
E（z）=10×0.328+5×0.410+0×0.025+(-2)×0.057=5.216(万元)