Question

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE？证明你的结论。

Answer 1

当F是C₁D₁中点时，B₁F//平面A₁BE，证明如下：

取棱CD的中点G，连接EG、BA

∵E、G分别为DD₁、DC中点，故EG为△DD₁C的中位线，∴EG∥CD₁

又易知四边形CD₁A₁B为矩形，∴CD₁∥A₁B，∴EG∥A₁B，从而EG在面A₁BE上

∵F、G分别为C₁D₁、CD中点，∴GF平行且相等于CC₁

∵BB₁平行且相等于CC₁，∴GF平行且相等于BB₁

从而四边形BB₁FG为平行四边形，∴B₁F∥BG

由于BG在面A₁BE上，∴B₁F∥面A₁BE

追问

第二行，打错了吧，应该是连接EG、BG吧

追答

是的，抱歉