Question

线性代数高手，我想请问一下特征值与特征向量问题，谢谢

Answer 1

由已知, X^TX=1, XX^T是秩为1的对称矩阵
所以, XX^T 的特征值为 X^TX=1, 0,0
对应特征值1的特征向量 为 X
对应特征值0的特征向量是与X正交的向量, 要看X的具体取值

追问

刘老师，下面这两步如何得出来的啊？这里有什么结论吗？
XX^T是秩为1的对称矩阵
所以, XX^T 的特征值为 X^TX=1, 0,0

这个怎么得出来的啊?谢谢老师

追答

r(XX^T) =1
所以 r(XX^T) = 1.

XX^TX = X(X^TX) = (X^TX)X --X^TX 是一个数
所以 X 是属于特征值 X^TX 的特征向量

XX^T 是对称矩阵, 故可对角化. 所以其非零特征值的个数等于它的秩
所以XX^T 的特征值为 X^TX=1, 0,0

Answer 2

X为三维单位向量，X转置=X，X与X的转置的乘积，也是X（三维单位向量）
|X-λE| = (1-λ)^3.
所以X的特征值为 1,1,1

对应的特征向量为 c1(1,0,0)^T+c2(0,1,0)^T+c3(0,0,1)^T,
其中c1,c2,c3 为不全为0的任意常数