Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD垂直平面ABCD，PD=AB

=2,E,F,G分别为PC,PD,BC的中点。 1`求证PA平行平面EFG 2`求三棱锥P-EFG的体积

Answer 1

1.因为EFG分别为PC,PD,BC的中点，地面ABCD为正方形，所以EF∥DC∥AB，EG∥PB,EF与EG相交于E点，AB与PB相交于B
点，所以面EFG∥面APB
所以PA∥EFG
2做FM⊥AD交AD于M
点，链接MC，并且设AB=a由
题意
知，PA⊥面ABCD，所以PA⊥AD，F又是PD
的中点，所以M
是AD
的中点，FM=a/2,MG=a,FG^2=FM^2+MG^2,可以得出FG=√5a/2,EF=a/2,EG=PB/2=√2a/2
cos∠FEG=-√2/2，sin∠FEG=√2/2
三角形FEG的面积S=1/2
*
a/2
*
√2a/2
*
√2/2=a^2/8=1/2
因为面EFG∥面APB，所以P点到面EFG的距离为a/2=1
三棱锥P-EFG的体积
V=1/3
*
1
*
1/2=1/6
其实这个
题目
也可以用
向量
法来做，可能更简单，这个题目不需要自己去找坐标轴，这个坐标题目就给出来了