Question

初等数论

Answer 1

5、欧拉定理：若n,a为正整数，且n,a互质，即(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
二、证明：这个问题需要分类讨论（按除以3的余数）
（1）当a≡0(mod3)时，a^2≡0(mod3)，则a^2+a+1≡0+0+1≡1(mod3)
（2）当a≡1(mod3)时，a^2≡1(mod3)，则a^2+a+1≡1+1+1≡3≡0(mod3)
（3）当a≡2(mod3)时，a^2≡4≡1(mod3)，则a^2+a+1≡1+2+1≡4≡1(mod3)
综上所述：a^2+a+1≡1(mod3)或者a^2+a+1≡0(mod3)
三、证明：∵13^2=169≡49≡-11(mod60)
∴13^4≡(-11)^2≡121≡1(mod60)，即13^4≡1(mod60)
又∵1956=4*489
∴13^(1956)=(13^4)^489≡1^489≡1(mod60)
即13^(1956)≡1(mod60)
四、证明：设这4个连续的自然数为n, n+1, n+2, n+3
则这4个数的乘积加1为：n(n+1)(n+2)(n+3)+1
∵n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1
=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1
=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1（这里把n^2+3n看成一个整体）
=(n^2+3n+1)^2
∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1是平方数
证毕！
（望采纳！有不懂的可以追问！）