Question

在平行四边形ABCD中，AM垂直于BC，AN垂直于CD，求证AM：AB=MN：AC

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Answer 1

证：设∠B= a
∵平行四边形ABCD，AM⊥BC，AN⊥CD
∴∠B=∠D=a，∠BAD=180°-a，∠BAM=∠DAN=90°-a
S□ABCD=AM × BC= AN × CD，AB=CD，AD=BC
∴∠MAN=∠BAD- ∠BAM-∠DAN=a=∠D
AM / CD=AN / BC
又∵AD=BC
∴ AM / CD=AN / AD
∴在△AMN和△DCA 中，AM / CD=AN / AD，∠MAN=∠D
∴△AMN∽△DCA
∴MN / CA = AM / DC
又∵AB=CD
∴MN / CA = AM / AB 即 AM：AB=MN：AC，得证

Answer 2

M,N 为垂足，则四点AMCN共圆 则∠ANM=∠ACB
又∠B=∠D
∠DAN+∠D=90°
∠DAN+∠MAN=90°
∴∠B=∠D =∠MAN
综上 得△ABC ∽△AMN
即得到AM：AB=MN：AC