Question

已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（√7，0）直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点横坐标为－2／3

求此双曲线方程

Answer 1

设双曲线：x^2/a^2-y^2/b^2=1
设M(x1,y1) N(x2,y2)
MN中点也在直线y=x-1上，横坐标为-2/3 那么纵坐标为-5/3
M/N在双曲线上，那么MN满足方程：
x1^2/a^2-y1^2/b^2=1 (1)
x2^2/a^2-y2^2/b^2=1 (2)
(1)-(2)：
(x1-x2)(x1+x2)/a^2=(y1-y2)(y1+y2)/b^2
也就是：(y1-y2)/(x1-x2)=b^2(x1+x2)/a^2(y1+y2)
式子左边就是MN直线的斜率，而MN在y=x-1上，所以斜率就是1
式子右边：x1+x2=2*(-2/3) y1+y2=2*(-5/3)
代入得到：b^2=5/2a^2
又焦点为F（√7，0）
所以a^2+b^2=c^2=7
所以a^2=2 b^2=5
双曲线为x^2/2-y^2/5=1