Question

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O点作直线MN‖BC，设MN交∠BCA的平分线于点E

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O点作直线MN‖BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F
①探究OE与OF的数量关系 证明
②O在AC上运动时，四边形BCFE会是另行么；是，证明：不是，说明理由
③当点O运动到何处时，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形，说明理由

Answer 1

1、证明：在BC的延长线上取点D
∵CE平分∠ACB
∴∠ACE＝∠BCE
∵CF平分∠ACD
∴∠ACF＝∠DCF
∵MN∥BC
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF
∴∠ACE＝∠OEC，∠ACF＝∠OFC
∴OE＝OC，OF＝OC
∴OE＝OF
2、当O运动到AC的中点时，AECF是矩形
证明：
∵O是AC的中点
∴AO＝CO
∵OE＝OF
∴平行四边形AECF
∵CE平分∠ACB
∴∠ACE＝∠ACB/2
∵CF平分∠ACD
∴∠ACF＝∠ACD/2
∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠ACB/2+∠ACD/2＝（∠ACB+∠ACD）/2＝180/2＝90
∴矩形AECF
3、△ABC为直角三角形，∠ACB＝90时，四边形AECF是正方形
证明：
∵∠ACB＝90
∴∠ACD＝90
∵CE平分∠ACB
∴∠BCE＝∠ACB/2＝45
∵CF平分∠ACD
∴∠DCF＝∠ACD/2＝45
∵MN∥BC
∴∠OEC＝∠BCE＝45，∠OFC＝∠DCF＝45
∴∠OEC＝∠OFC
∴CE＝CF
∵矩形AECF
∴正方形AECF

此题前几天做过，请参考：
http://zhidao.baidu.com/question/412193808.html?oldq=1

追问

第二个问的是能不能成菱形 不是矩形

追答

2、BCFE不能成为菱形
证明：
∵CF平分∠ACD
∴∠ACF＝∠ACD/2
∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠ACB/2+∠ACD/2＝（∠ACB+∠ACD）/2＝180/2＝90
∴EF＞CF
∴EF≠CF
∴BCFE不能成为菱形