Question

在平面直角坐标系中 边长为2的正方形OABC的两顶点A,C分别在y轴，X轴的正半轴上，点O在原点

现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x点M。BC边交x轴于点N。
（1）求边长OA在旋转过程中所扫过的面积。
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数。
（3）设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P值是否有变化？说明理由。
（4）设MN=m，则当m为何值时△OMN面积最小，最小值为多少？（过程）

Answer 1

（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，

∴OA旋转了45度．

∴OA在旋转过程中所扫过的面积为（ 1/2）π ．

（2）∵MN‖AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45度．

∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．

又∵BA=BC，∴AM=CN．

又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM ≌△OCN．

∴∠AOM=∠CON．∴∠AOM=  1/2（90°-45°）=22.5度．

∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5度．

（3）证明：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，

∴∠AOE=∠CON．

又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．

∴△OAE ≌△OCN．

∴OE=ON，AE=CN．

又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，

∴△OME ≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．

∴MN=AM+CN，

∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．

∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．

（3）设AM=n，则BM=1-n，CN=m-n，BN=1-m+n，

∵△OME≌△OMN，

∴S△MON=S△MOE=1/2OA×EM=(1/2)m

在Rt△BMN中，BM^2+BN^2=MN^2

∴（1-n)^2+（1-m+n)^2=m^2⇒n^2-mn+1-m=0

∴△=m^2-4（1-m）≥0⇒m≥2√2   -2或m≤-2√2-2，

∴当m=2√2-2时，△OMN的面积最小，为√ 2-1．

此时n=√2-1，

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