Question

求一道几何题

一根木棒AB长为2a，斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，与地面的倾斜角（角ABO=60度）当木棒沿A向下NO滑动到A`，AA`=(根号3-根号2)a,则B端沿直线向左滑倒B`，木棒中点P从运动到P`所经路线长为？（求过程）

Answer 1

P到O距离=1/2AB=a, 角AOP=30度， 此动点到O距离不变，总是 a.
OA‘=OA-AA'=根2 a ===> A'OP'=45度。 所以PAP'=15度
即木棒中点从P运动到P`所经路线长为 半径为a的圆上15度圆心角所对的弧长 = 2 Pi a * 15/360 = Pi a/12.

Answer 2

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OP=12AB=12A′B′=OP′，即P是随之运动所经分析： 过的路线是一段圆弧；在Rt△AOB中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠AOP=30°，OA=3a，则易求出OA′=OA-AA′=2a，即可得到△A′OB′为等腰直角三角形，得到∠A′B′O=45°，则∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，然后根据弧长公式计算即可．
解答：解：连接OP、OP′
∵ON⊥OM，P为AB中点，
∴OP=12AB=12A′B′=OP′，
∵AB=2a
∴OP=a，
当A端下滑B端右滑时，AB的中点P到O的距离始终为定长a，
∴P是随之运动所经过的路线是一段圆弧，
∵∠ABO=60°，
∴∠AOP=30°，OA=3a，
∵AA′=（3-2）a，OA′=OA-AA′=2a，
∴sin∠A′B′O=OA′A′B′=22，
∴∠A′B′O=45°，
∴∠A′OP=45°
∴∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，
∴弧PP′的长=15•π•a180=112πa，
即P点运动到P′所经过路线PP′的长为112πa．

Answer 3

解：连接OP、OP′，如图，
∵ON⊥OM，P为AB中点，
∴OP=1/2 AB=1/2A′B′=OP′，
∵AB=2a
∴OP=a，
当A端下滑B端右滑时，AB的中点P到O的距离始终为定长a，
∴P是随之运动所经过的路线是一段圆弧，
∵∠ABO=60°，
∴∠AOP=30°，OA= √3a，
∵AA′=（√3-√2）a，OA′=OA-AA′=√2a，
∴sin∠A′B′O=OA′ A′B′=√2/2，
∴∠A′B′O=45°，
∴∠A′OP'=45°
∴∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，
∴弧PP′的长=15•π•a/180=1/12πa，即P点运动到P′所经过路线PP′的长为1/12πa．
故答案为：1/12πa．