Question

设函数fx=a -（k-1）a （a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数

设函数fx=a -（k-1）a （a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数
（1）求k值
（2）若f1＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x +tx）+f（4-x）＜0恒成立的取值范围
（3）若f1=3/2，gx=a +a -2mfx且gx在[1，+∞﹚上的最小值为-2，求m的值

Answer 1

解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0
∴1-（k-1）=0，∴k=2
（2）∵函数f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，∴a-1/a ＜0，又 a＞0，

∴1＞a＞0．
由于y=ax单调递减，y=a-x单调递增，故f（x）在R上单调递减．
不等式化为f（x2+tx）＜f（x-4）．
∴x2+tx＞x-4，即 x2+（t-1）x+4＞0 恒成立
∴△=（t-1）2-16＜0，解得-3＜t＜5
（3）∵f（1）=3/2, ,a-1/a=3/2即2a2-3a-2=0，∴a=2
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）2-2m（2^x-2^-x）+2
∵x≥1，∴t≥f（1）=3/2
令h（t）=t^2-2mt+2=（t-m）^2+2-m^2　（t≥3/2)
若m≥3/2 ，当t=m时，h（t）min=2-m^2=-2
∴m=2

Answer 2

解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，…（2分）
∴1-（k-1）=0，∴k=2．…（4分）
（2）∵函数f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，∴a-
1
a
＜0，又 a＞0，
∴1＞a＞0．…（6分）
由于y=ax单调递减，y=a-x单调递增，故f（x）在R上单调递减．
不等式化为f（x2+tx）＜f（x-4）．
∴x2+tx＞x-4，即 x2+（t-1）x+4＞0 恒成立，…（8分）
∴△=（t-1）2-16＜0，解得-3＜t＜5．…（10分）
（3）∵f（1）=
3
2
，a-
1
a
=
3
2
，即2a2-3a-2=0，∴a=2，或 a=-
1
2
（舍去）．…（12分）
∴g（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x）=（2x-2-x）2-2m（2x-2-x）+2．
令t=f（x）=2x-2-x，由（1）可知k=2，故f（x）=2x-2-x ，显然是增函数．
∵x≥1，∴t≥f（1）=
3
2
，
令h（t）=t2-2mt+2=（t-m）2+2-m2　（t≥
3
2
）…（15分）
若m≥
3
2
，当t=m时，h（t）min=2-m2=-2，∴m=2…（16分）
若m＜
3
2
，当t=
3
2
时，h（t）min=
17
4
-3m=-2，解得m=
25
12
＞
3
2
，舍去…（17分）
综上可知m=2．…（18分）