Question

设函数y=f(x),且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),求(1) f(x)的表达式及定义域 (2)f(x)的值域

Answer 1

1.lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)=lg[3x(3-x)]
所以lgy=3x(3-x)
所以y=10^[3x(3-x)]=10^(9x-3x^2)=1000^(3x-x^2)
所以f(x)=1000^(3x-x^2)
2.设z=3x-x^2
则f(x)=1000^z
z=-x^2+3x=-(x-3/2)^2+9/4
所以z≤9/4
因为lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)
所以3x≥0
且
3-x≥0
所以定义域：0≤x≤3
所以-3/2≤x-3/2≤3/2
所以0≤-(x-3/2)^2+9/4≤9/4
即0≤z≤9/4
所以1000^0≤1000^z≤1000^(9/4)
即1≤f(x)≤10^(27/4)
所以f(x)的值域为[1，10^(27/4)]