Question

线性代数中的线性变换指什么

Answer 1

设v、w是两个线性空间。一个v至w的线性映射t，就称为v至w的线性变换。
线性变换必须满足任意的x，y∈v
及任意实数a，b，有
t（ax+by）=at（x）+bt(y)
如恒等变换
i
。v→v，对任意的x∈v，有
i(x)=x
因为
i(ax+by)=ax+by=
a
i(x)+b
i(y)
满足
t（ax+by）=at（x）+bt(y)所以
i
是线性变换。
几何上恒等变换不改变图形的大小和位置。其在常用基下对应的矩阵为单位矩阵e。
是不是线性变换就通过看是否满足t（ax+by）=at（x）+bt(y)来验证。
同理
旋转变换、伸缩变换（几何上表现为扩大缩小图形
x=kx;y=ky）、切变变换（几何上表现为x=x+ky;y=y+kx)、投影变换(投影在x或y轴上）、反射变换（几何上表现为关于某条直线对称）、零变换（o）等都是线性变换。
若一个变换是由几个线性变换复合而成，该变换也为线性变换。
学到后面基本都是考线性变换对应的矩阵的相关计算及应用。