Question

线性代数证明题求解。。。。

设n阶方阵A=[aij]的秩为n,以A的前r(r<n)行为系数的齐次线性方程组为a11x1+a12x2+...+a1nxn=0,...,ar1+ar2x2+...+arnxn=0，求证：ηr+1=[Ar+1,Ar+1,2,...,Ar+1,n]т，ηn=[An1,An2,...Ann]т 为方程组的一个基础解系，其中Aij为行列式中元素aij的代数余子式。

Answer 1

显然ηr+1到n是方程解 且原奇次方程组系数矩阵秩为r 故从而基础解系有n-r个线性无关向量 从而只需证明ηr+1到n线性无关即可 又AA*=|A|E A秩为n 故A*秩为n 从而A*列向量线性无关 从而ηr+1到n线性无关 即证

Answer 2

当理解了向量和矩阵的关系之后，你就会发觉线性代数还是挺简单的。
向量其实就是矩阵，只不过其中一个长度是1而已。常数其实也是一个矩阵，只不过它是一乘一的而已。向量可以组合变成矩阵。
下面我们来做题吧。
我们让alpha1和alpha2和alpha3组成矩阵A=(alpha1,alpha2,alpha3)。那么我们就可以借助A来讨论我们的问题了。
线性表示的问题可以表述为Ax=beta，为什么呢，你把向量看成是元素，那么Ax=beta就是(alpha1,alpha2,alpha3)*(x1,x2,x3)^T=beta，点乘知不知道？这个形式就是点乘的形式了：alpha1*x1+alpha2*x2+alpha3*x3=beta，这就是线性表示的定义呀。
下面我们的线性表示问题就是求矩阵方程解的情况问题了。（为什么？因为方程有唯一解就是对应可以唯一线性表示呀，解就是线性表示的系数呀）。
那么由方程的解的理论，这应该在前面几章着重探讨了吧，这里我默认你会了。
这里有个重要关系：
满秩就是可逆就是行列式非零就是有唯一解，这四者完全等价！！！
那么求唯一的线性表示方法不就是求行列式|A|非零吗！！！
问题就转化为求行列式的问题了，但愿你行列式基础还行。
同理，不唯一线性表示也就意味着行列式为零且r(A)=r(A,beta)。无解就是行列式为零且r(A)不等于r(A,beta)。

望采纳。