Question

求数学高手做 抛物线y=1/3x2-（2根号3）/3x+m与x轴交与A,B两点，与y轴交与C点，∠ACB=90°

(1)求m的值及抛物线顶点坐标
(2)过ABC三点的圆M交y轴于另一点D，连接DM并延长交圆M于点E，过E点的圆M的切线分别交与x轴，y轴于点F,G，求直线FG的解析式
(3)上述的抛物线是否存在着点Q（a，b）使得∠DQE为钝角，存在写出横坐标a的取值范围，不存在说明理由
（4）在条件（2）下，设P为弧CBD上的动点（P不与C,D重合）连接PA交y轴于点H，问是否存在一个常数K，始终满足AH*AP=K

Answer 1

(1)
解x^2-2√3x+3m=0
得 x1=√3(1-√(1-m)) , x2=√3(1+√(1-m))
即 A(x1, 0), B(x2, 0)
抛物线与y轴交于C(0, m)
(CA)=(x1, -m), (CB)=(x2, -m)
因为 ∠ACB=90°
所以 (CA)*(CB)=x1*x2+m^2=0
3[1-(1-m)]+m^2=0
(3+m)m=0
故 m= -3 (m=0 不合题意，舍弃)
于是 y=x^2/3-2√3x/3-3
=1/3(x-√3)^2-4
故 顶点为 (√3, 4）
(2)
由(1)已知 m=-3
故 A(-√3, 0), B(3√3, 0) , C(0, -3)，D(0,3)
抛物线的对称轴为 x=√3
故 M(√3, 0), 圆M的半径=2√3
因为 DE是圆M的直径，所以 ∠DCE=90度
即 E点y坐标=-3
根据圆的对称性得 E(2√3,-3)
因为 DM的斜率 k=3/(-√3)=-√3
GF垂直DM，故GF斜率=-1/k=1/√3=√3/3
所以 GF方程：
y+3=√3/3(x-2√3)
y=√3x/3-5
（3）
因为DE是直径，所以
当Q点在圆周上时，∠DQE=90度
当Q点在圆内时，∠DQE>90度
当-√3<x<0 ，2√3<x<3√3时 抛物线在圆M内，∠DQE>90度是钝角。
（4）
连接PB，三角形AHO 相似 三角形ABP
因此 AH/AB=AO/AP
所以 AH*AP=AB*AO=4√3*√3=12
故存在 K=12，使 AH*AP=K

Answer 2

这道题目有图么？

追问

有