Question

如图，AB,BC,CD分别与圆O切于点E,F,G,且AB∥CD.连接OB,OC,延长CO交圆O于M,过M作MN∥OB交CD于N，连MN

求证 OB⊥OC
若OB=6，OC=8，求MN长

Answer 1

1、连接老兄OE、OF、OG
∵AB,BC,CD分别与圆O切于点E,F,G,
∴BE=BF，CG=CF
∵OE=OF，OF=OG
OB=OB，OC=OC
∴△BOE≌△BOF，△COF≌△COG
∴∠EBO=∠FBO，∠GCO=∠FCO
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴1/2(∠ABC+∠DCB)=90°
即∠FBO+∠FCO=90°
∴∠BOC=90°
∴BO⊥OC
2、
∵MN‖OB
∴∠NMO=∠MOB=∠BOC=90°
∴MN是圆O的切线
∵∠BOC=90°
∴BC=√（36+64）=10.
∵△OBF∽△CBO
∵OF×BC=OB×OC
∴半径OF=48/10=4.8
∵∠FCO=∠NCM, ∠OFC=∠NMC
∴△CMN∽△COF
∵NM,NG均是圆O的切线
∴NM=NG
设NM=NG=X, 由△CMN∽△COF 得侍凯袭MN:OF=CN:CF
又CG=CF=√（OC²-OF²）=6.4
∴孙槐CN=6.4+X
故:X:4.8=(6.4+X):6.4
得MN=X=19.2

Answer 2