Question

如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合

根据图1，线段EF，DF和BE有什么关系？说明

Answer 1

　　（1）证明：∵△NMA是等腰直角三角形，
　　∴∠NAM=45°，
　　∵四边形ABCD是正方形，
　　∴ABAC=
　　12，∠ABO=∠BAO=∠ACF=45°，
　　∴∠ABO=∠BAO=∠NAM=∠ACF，
　　∴∠BAO-∠1=∠NAM-∠1，
　　∴∠3=∠2，
　　∴△ABP∽△ACF，
　　∵ABAC=
　　12，
　　∴△ABP∽△ACF，且相似比为1：2，

　　（2）解：由相似三角形的判定方法得：△AQD∽△AEC；△APQ∽△AFE．

　　（3）解：作NG⊥PQ于点G，
　　∴∠MGQ=90°，
　　∴∠GNM+∠NMG=90°，
　　∵∠NMA=90°，
　　∴∠NMG+∠AMQ=90°，
　　∴∠GNM=∠AMQ，
　　∵MQ是BC的中垂线，
　　∴∠AQM=90°，
　　∴∠AQM=∠NGM，
　　∵AM=NM，
　　∴△NGM≌△MQA，
　　∴NG=MQ，MG=AQ，
　　∵AQ=QO，
　　∴QO=MG，
　　∴MO+QO=MO+MG，
　　即MQ=GO，
　　∴NG=GO，由勾股定理得，GO=42，
　　∴MQ=42．

Answer 2

已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合 根据图1，线段EF，DF和BE有什么关系？说明
证明：把△ADF绕点A顺时针旋转90°到△ABG的位置，
则∠FAD=∠GAB AF=AG DF=BG
因为∠FAD+∠DAE=∠NAM=45°
∴∠GAB+∠DAE=45°
∴∠MAG=∠DAB-45°=45°
∴∠FAE=∠GAE=45°
AE=AE
∴△FAE≅△GAE
∴EF=EG
BE=BG+GE
∴BE=EF+DF