Question

圆锥曲线的一个问题，椭圆的

已知过点A（-1,1）的直线与椭圆1/8 x2 + 1/4 y2 = 1 交与BC两点，当直线l绕点A旋转时，求BC弦中点M的轨迹方程、

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Answer 1

设B点坐标(x1,y1),C点坐标(x2,y2),BC弦中点M坐标(x0,y0),
x0=(x1+x2)/2,y0=(y1+y2)/2,

已知点B、点C均在椭圆上，
(x1^2)/8+(y1^2)/4=1……(1)
(x2^2)/8+(y2^2)/4=1……(2)

由(1)-(2)得，(x1^2-x2^2)/8+(y1^2-y2^2)/4=1, 即 (x1-x2)(x1+x2)/8+(y1-y2)(y1+y2)/4=1,
整理得，(y1-y2)/(x1-x2)=-(x1+x2)/2*(y1+y2), 即线段BC所在直线的斜率k=-x0/(2*y0),
由此可知，线段BC所在直线方程为y-y0=[-x0/(2*y0)]*(x-x0)……(3),

又因为直线过A点(-1,1),代入(3)得，1-y0=[-x0/(2*y0)]*(-1-x0),
整理得x0^2+x0=2y0-2y0^2,配方得，(x0+1/2)^2+2(y0-1/2)^2=3/4,
这样就得到线段中点坐标M的轨迹方程为椭圆[(x0+1/2)^2]/(3/4)+[(y0-1/2)^2]/(3/8)=1.