Question

棱长为a的正四面体外接球与内切球的半径为？

Answer 1

设正四面体为pabc,设其外接球半径为r，内切球半径为r。由于对称，两球球心重叠，设为o。
设po的延长线与底面abc的交点为d，则pd为正四面体pabc的高，其垂直于底面abc，且po=r，od=r，od=正四面体pabc内切球的高。
设正四面体花供羔佳薏簧割伪公镰pabc底面面积为s。
将球心o与四面体的4个顶点pabc全部连结，可以得到4个全等的正三棱锥，体心为顶点，以正四面体面为底面。
每个正三棱锥体积v1=1/3*s*r
而正四面体pabc体积v2=1/3*s*（r+r）
根据前面的分析，4*v1=v2
所以，4*1/3*s*r=1/3*s*（r+r）
所以，r/r=1/3

Answer 2

提示：
连接正四面体的各个三角形的中心，形成一个新的正四面体。容易证明，新正四面体的边长为a/3.
我想，按这个思路做下去，大概是比较简单的做法。
原来四面体的内切圆是新四面体的外接圆。
所以外接圆半径R是内切圆半径r的3倍。
R=3r,
作图即可知道
(3r)^2=r^2+[(2/3)×(根号3)a/2]^2
=>r=a/(2根号6)
R=3a/(2根号6)