Question

不定积分x^2除以根号(x^2+a^2)

Answer 1

∫x^2/√(a^2+x^2)dx
=∫(x^2+a^2-a^2)/√(a^2+x^2)dx
=∫√(x^2+a^2)dx-a^2∫dx/√(a^2+x^2)
=x√(x^2+a^2)-
∫x√d(x^2+a^2)dx-a^2arsh(x/a)
=
x√(x^2+a^2)-
∫x^2dx/√(x^2+a^2)-a^2(ln(x/a+√(1+(x/a)^2)),
2∫x^2dx/√(x^2+a^2)=
x√(x^2+a^2)-a^2{ln[x+√(a^2+x^2)]},
∴∫x^2dx/√(a^2+x^2)=
x√(a^2+x^2)/2-a^2ln[x+√(a^2+x^2)]/2+C
这里用到分部积分和反双曲正弦函数arshx。