Question

线性代数基础解系

证明基础解系有一种方法是构造矩阵等式，B=AP，如：
设a1,a2,a3是某个齐次线性方程组AX=0的基础解系，证明b1=a2+a3,b2=a1+a3,b3=a1+a2一定是次方程组的基础解系
证：（b1,b2,b3）=(a1,a2,a3)P
(矩阵P：第一行：0 1 1
第二行：1 0 1
第三行：1 1 0 )
|P|不等于零，为可逆矩阵，为什么r(B)=r(A)=3,b1,b2,b3线性相关？而|P|等于零，不可逆，就线性无关？

Answer 1

齐次线性方程组AX=0与B=AP，A=(a1,a2,a3)出现了同样的A，题目有问题！！
一方面，|P|不为0时，即P可逆，则有r(B)=r(AP)=r(A),（后一个等式在书上是有定理保证的）；已知“a1,a2,a3是某个齐次线性方程组AX=0的基础解系”，故a1,a2,a3是线性无关的，即r(A)=r(a1,a2,a3)=3,(3行3列的，列满秩)，于是r(B)=r(A)=3。
另一方面，既然基础解系存在，AX=0有非零解，其必要条件是系数矩阵行列式|A|=0，于是r(A)<3，矛盾！

Answer 2

书上有详细的介绍，这是一个很麻烦的回答。多看看书上的定理是怎证明的。

Answer 3

Answer 4