Question

高等数学 第一型曲面积分问题

Answer 1

解：因为锥面得，Z=√(3x²+3y²)
由于(Zx)²=3x²/(x²+y²)，(Zy)²=3y²/(x²+y²)，
所以√(1+(Zx)²+(Zy)²)=√(1+3)=2
故∫∫﹙x^2+y^2﹚dS
=2∫∫﹙x^2+y^2﹚dxdy
（由于z=3与z^2=3(x^2+y^2)相交得：9=3(x^2+y^2)，即x²+y²=3，故积分投影区域为：x²+y²≤3）
转化为极坐标，得
=2∫∫
r^2
*rdrdθ
=2∫(0,2π)
dθ∫(0,√3)
r³
dr
=4π*(1/4)r^4
|(0,√3)
=9π
故∫∫(x^2+y^2)dS
=9π。

Answer 2

解法一：上半球面的面积是2π，所以∫∫(∑)
ds＝2π
－－－－－－－－
解法二：
∑的方程是x＝√(1-x^2-y^2)，∑在xoy面上的投影区域是d:x^2+y^2≤1
求偏导数αz/αx＝-x/z，αz/αy＝-y/z
ds＝√[1+(αz/αx)^2+(αz/αy)^2]dxdy＝dxdy/√(1-x^2-y^2)
所以，∫∫(∑)
ds＝∫∫(d)
dxdy/√(1-x^2-y^2)＝∫∫(d)
dxdy/√(1-x^2-y^2)＝∫(0→2π)dθ
∫(0→1)
1/√(1-ρ^2)
ρdρ＝2π