Question

数列∑1/N^2 求和

Answer 1

方法一：
将sinx按泰勒级数展开：
sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋
…
于是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋
…
令y＝x^2，有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋
…
而方程sinx＝0的根为0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y＝0的根为π²,(2π)²,…
即1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…＝0的根为π²,(2π)²,…
由韦达定理，常数项为1时，根的倒数和＝一次项系数的相反数
即1/π²＋1/(2π)²＋…＝1/3!
故1＋1/2²＋1/3²＋
…
＝π²/6
方法二：
复变函数的留数问题，令f(z)=1/z^2*cos(πz)/sin(πz).将此函数在以（-n-1/2,-n),（-n-1/2,n),（n+1/2,-n),（n+1/2,n)为顶点的矩形封闭路径上积分，通过各项相消，易知此积分为0.同时由留数定理，此积分=1/2πi*(-π/3+2/π*（1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2）),两边取极限得
π/3-2/π*∑1/N^2=0，所以∑1/N^2=π²/6

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示