Question

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且A,B,C成等差数列 (1)若b=√13,a=3,求c的值

(2)设t-sinAsinC，求t的最大值

求详解

Answer 1

解：A,B,C成等差数列，故3B=180°，得B=60°，A+C=120°
1、由正弦定理得
b^2=a^2+c^2-2accosB
故有
13=9+c^2-2*3*c*cos60°=9+c^2-3c
c^2-3c-4=0
(c-4)(c+1)=0
解得c=4（c=-1舍去）
2、t=sinAsinC=1/2*[cos(A-C)-cos(A+C)]=1/2*[cos(A-C)-cos120°]
=1/2*cos(A-C)+1/4
故当且仅当A=C=60°时，t取最大值
1/2*1+1/4=3/4
不明白请追问。

Answer 2

A,B,C成等差数列，且A+B+C=180°，所以B=60°

【1】
用余弦定理
b^2=(a^2+c^2-2ac)cosB

将已知代入
13 = (9+c^2-6c)×0.5
26=(c-3)^2
c=3+√26
【2】
sinAsinC的最大值：

C=180°-A-B=120°-A

sinAsin(120°-A)

=sinA(sin120°cosA - sinAcos120°)
=(√3)/2 sinAcosA + (1/2)sinAsinA
=(√3)/4 sin(2A) + 1/4 - 1/4 cos(2A)
= 1/4 + 1/2 (cos30°sin(2A) - sin30°cos(2A))
= 1/4 + 1/2 sin(2A-30°)
A=60°时，t最大值1/4 + 1/2 = 3/4