Question

已知a,b,c是△ABC的∠A,∠B,∠C对边，a>b，关于x的方程x²-2(a+b)x+2ab+c²=0有两相等实根，

已知a,b,c是△ABC的∠A,∠B,∠C对边，a>b，关于x的方程x²-2(a+b)x+2ab+c²=0有两相等实根，且∠A，∠B的正弦是关于x的方程（m+5）x²-(2m-5)x+m-8=0的两根，若三角形ABC的最大边长为10，求三角形ABC的周长。 跪求答案及解题详细步骤，谢谢给位大师

Answer 1

　解：根据‘关于x的方程x²-2(a+b)x+2ab+c²=0有两相等实根’可以得到4(a+b)2=4(2ab+c2)；
经化简，a2+b2=c2，因此得到三角形ABC为直角三角形，且角C=90度，又根据‘三角形ABC 的最大边长为10’可以得到边c=10;
再根据∠A，∠B的正弦是关于x的方程（m+5）x²-(2m-5)x+m-8=0的两根，根据二次方程根和 系数的关系得到:
x1+x2=(2m-5)/(m+5)， (1)
x1x2=(m-8)/(m+5)， (2)
在这里，x1=sinA=a/10,x2=sinB=b/10,同时a和b满足a2+b2=c2=100，代入x1，x2到（1）和（2） 中，得到:
a/10+b/10=(2m-5)/(m+5)，(3)
a/10*b/10=(m-8)/(m+5)， (4)
将（3）两边平方得到，（a+b）2=100(2m-5)2/(m+5)2,即100+2ab=100(2m-5)2/(m+5)2根据 式（4），ab=100(m-8)/(m+5)，故：
100+100(m-8)/(m+5)= 100(2m-5)2/(m+5)2
求解该方程，得到m1=20，m2=4，对于m2=4应舍去，应为要保证（2）式为正，所以m=20， 进而得到a+b=14，进而三角形周长为a+b+c=24.

Answer 2

方程x²-2(a+b)x+2ab+c²=0有两相等实根
△=4(a+b)^2-4(2ab+c²)=0
c²=a²+b²
△ABC是直角三角形
∠A，∠B的正弦是关于x的方程（m+5）x²-(2m-5)x+m-8=0的两根
sinA+sinB=(2m-5)/（m+5）,sinA*sinB=(m-8)/（m+5）
∠A+∠B=90°,sinB=cosA
sinA+cosA=(2m-5)/（m+5),sinA*cosA=(m-8)/（m+5),
1+2sinA*cosA=[(2m-5)/（m+5)]^2
1+2(m-8)/（m+5),=[(2m-5)/（m+5)]^2
m^2-24m+80=0
m=20,m=4
9x²-3x-4=0

追问

周长呢？
好像还没完吧？

追答

当m=4时
sinA>0,sinB>0
sinA*sinB>0,而sinA*sinB=(m-8)/（m+5)= -4/9,与题意不符,舍去
当m=20时有
25x²-35x+12=0
x1=4/5,x2=3/5
sinA=4/5,sinB=3/5或sinA=3/5,sinB=4/5
a=sinA*AB=4/5*10=8,b=sinB*AB=3/5*10=6
三角形ABC的周长=a+b+c=8+6+10=24