Question

设数列an满足 a1+2a2+3a3+nan=2的n次方,求 an的通项公式 （2）设bn=n2an 求数列bn的前n项和sn

Answer 1

解：
1、
a1=2^1=2
n≥2时，
a1+2a2+3a3+...+(n-1)a(n-1)+nan=2ⁿ (1)
a1+2a2+3a3+...+(n-1)a(n-1)=2^(n-1) (2)
(1)-(2)
nan=2ⁿ-2^(n-1)=2^(n-1)
an=2^(n-1) /n
n=1时，a1=2^0/1=1≠2
数列{an}的通项公式为
an=2 n=1
2^(n-1)/n n≥2
2、
n=1时，b1=1²×a1=1×2=2
n≥2时，bn=n²an=n²×2^(n-1)/n=n×2^(n-1)
n=1时，S1=b1=2
n≥2时，
Sn=2+2×2+3×2²+4×2³+...+n×2^(n-1)
2Sn=4+2×2²+3×2³+...+n×2^(n-1)=2+1×2+2×2²+3×2³+...+(n-1)×2^(n-1)+n×2ⁿ
Sn-2Sn=-Sn=2+2²+...+2^(n-1) -n×2ⁿ=2×[2^(n-1) -1]/(2-1) -n×2ⁿ=(1-n)×2ⁿ -2
Sn=(n-1)×2ⁿ +2
n=1时，S1=0+2=2，同样满足。
综上，得数列{bn}的前n项和Sn=(n-1)×2ⁿ+2。

Answer 2

（1）由此式，可得a1+2a2+3a3+(n+1)a(n+1)=2^(n+1)
两式相减，得(n+1)a(n+1)=2^n
an=2^(n-1)/n
a1不满足此式
所以an=2(n=1);=2^(n-1)/n(n≥2)
（2）bn=2(n=1);=n*2^(n-1)(n≥2)
当n≥2时，使用错位相减法
Sn=2+2*2+3*2^2+4*2^3+...+(n-1)2^(n-2)+n*2^(n-1)①
2Sn=4+2*2^2+3*2^3+4*2^4+...+(n-1)2^(n-1)+n*2^n②
①-②，得-Sn=-2+4+2^2+2^3+...+2^(n-1)-n*2^n
=2+2^2+2^3+...+2^(n-1)-n*2^n=(1-n)2^n-2
Sn=(n-1)2^n+2
S1满足此式
所以Sn=(n-1)2^n+2