Question

复合函数连续性问题

1 4是对的。说下怎么推导出来的，或怎么判断的。

Answer 1

1-3
按照连续的定义证明
4
定义g(x)=
x<=0,x
x>0.x+1
即在0处不连续，g(0)=0
定义f(x)
x<=0,x+1
x>0,x
在g(0)=0处不连续
但f(g(x))在x=0处连续

追问

一。f(g(x))在x=0处连续?lim(x趋于0)f(g(x))=f(g(0))？
二。1 2 3怎么证？

追答

f(g(x))=x+1
利用 ε- δ 语言证明

追问

能说得具体点吗？ε- δ语言 不懂。。

追答

一元实函数在x0点“连续”概念的定义：

　　设f(x)是实数集R上的函数，若对任意的数ε > 0，都存在一个数δ > 0，使得对任意的x满足

　　|x - x0| < δ

　　时，都成立

　　|f(x) - f(x0)| < ε，

　　则称函数f(x)在x0点连续。

　　这种定义方法使得微积分的基本概念（如极限、连续、导数等）不再依赖于“无穷小”这个含混不清的说法，而是用不等式的语言确切地描述出来（并且是可验证的）。因而使微积分理论严密起来。

追问

能用ε- δ把2 3 4中任意一个证明一下吗

追答

2和3确实不对，用不着ε- δ了
反例：

f(有理数）=1， f(无理数）=-1， g(x)= x^2.
f不连续，g连续， g(f(x)) 连续。

f(x)=x^2, g(x)在正半轴连续，在负半轴任取不连续函数。
f连续，g不连续， g(f(x))连续。

Answer 2

怎么都觉得只有1、2是对的？看不出4那里连续了？
连续就是指左极限=右极限=f（x0）
（这里的x0中的0是下标）
！~！连续就是指函数所有函数值一条线连到头，那里有断点（不在一条线上）那里就不连续了——差不多就是这意思。

追问

感谢你回答！恩，你说的是对，但怎么证明或判断呀？答案是1 4对。

追答

1、证明：u趋向于u0时，左极限f（u）=右极限f（u）=f（u0）
ψ（x0）=u0
所以 x趋向于x0时，左极限 f（ψ（x））=右极限 f（ψ（x））=f（ ψ（x0））
？？2是错的4是对的？？

追问

恩，1 4对 2 3错。

追答

没则了，要我选肯定选1、2.抱歉阿——解决不了。

追问

没事，很感谢你！