Question

已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,数列{an²}的前n项和为Tn，且(Sn-2)²+3Tn=4，n∈正整数

（1）证明{an}是等比数列，并写出通项公式；
（2）若Sn²-λλTn＜0对n∈正整数恒成立，求λ的最小值；
（3）若an，2^xan+1，2^yan+2成等差数列，求正整数x，y的值。

Answer 1

1.
证：
n=1时，S1=a1 T1=a1²，代入(Sn-2)²+3Tn=4
(a1-2)²+3a1²=4
整理，得
a1²-a1=0
a1(a1-1)=0
数列各项均为正，a1≠0，因此只有a1=1
n≥2时，
(Sn -2)²+3Tn=4 (1)
[S(n-1)-2]²+3T(n-1)=4 (2)
(1)-(2)
Sn²-4Sn+4+3Tn-S(n-1)²+4S(n-1)-4-3T(n-1)=0
[Sn+S(n-1)][Sn-S(n-1)]-4an+3an²=0
an[Sn+S(n-1)]+3an²-4an=0
an[Sn+S(n-1)+3an-4]=0
an(Sn+Sn-an+3an-4)=0
2an(Sn +an-2)=0
an>0，因此只有Sn+an -2=0
Sn=-an+2
S(n-1)=-a(n-1)+2
Sn-S(n-1)=an=-an+2+a(n-1)-2
2an=a(n-1)
an/a(n-1)=1/2，为定值。
数列{an}是以1为首项，1/2为公比的等比数列。
2.
an=1×(1/2)^(n-1)=1/2^(n-1)
an²=1/2^(2n-2)
a(n+1)²/an²=[1/2^(2n)]/[1/2^(n-1)]=1/4
Sn=1×(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)=2 -1/2^(n-1)
Tn=1×[1-(1/4)ⁿ]/(1-1/4)=(4/3)[1-1/2^(2n)]
Sn²-λTn<0
λTn>Sn²
λ>[2-1/2^(n-1)]²/{(4/3)[1-1/2^(2n)]}
[2-1/2^(n-1)]²/{(4/3)[1-1/2^(2n)]}
=3(1-1/2ⁿ)²/[(1+1/2ⁿ)(1-1/2ⁿ)]
=3(1-1/2ⁿ)/(1+1/2ⁿ)
=3(2ⁿ-1)/(2ⁿ+1)
=3[(2ⁿ+1-2)/(2ⁿ+1)]
=3[1- 2/(2ⁿ+1)]
=3- 6/(2ⁿ+1)
随n递增，2ⁿ单调递增，2ⁿ+1单调递增，6/(2ⁿ+1)单调递减，3-6/(2ⁿ+1)单调递增。当n=1时，
3-6/(2ⁿ+1)有最小值1，要不等式恒成立，λ>1
3.
an，2^x×a(n+1)，2^y×a(n+2)成等差数列，则
2×2^x×a(n+1)=an+2^y×a(n+2)
2^(x+1)×1/2ⁿ=1/2^(n-1)+2^y×1/2^(n+1)
等式两边同乘以2^(n+1)
2^(x+2)=4+2^y
2^(x+2) -2^y=4
等式两边同除以4
2^x -2^(y-2)=1
底数2为偶数，当x>1 y-2>1时，2^x，2^(y-2)均为偶数，差为偶数，等式右边1为奇数，要等式成立，只有2^(y-2)为奇数，y-2=0，y=2，此时x=1
x=1 y=2，只有一组解。

Answer 2

解：（1）∵(Sn-2)²+3Tn=4
∴(S(n-1)-2)²+3T(n-1)=4
∴上述两式相减，得：(Sn-S(n-1))(Sn+S(n-1)-4)+3(Tn-T(n-1))=0
又∵Tn-T(n-1)=(an)^2=(Sn-S(n-1))^2
∴(Sn-S(n-1))(Sn+S(n-1)-4)+3(Sn-S(n-1))^2=0
∴(Sn-S(n-1))(4Sn+4S(n-1)-4)=0
∴Sn-S(n-1)=0或者4Sn+4S(n-1)-4=0
若Sn-S(n-1)=0，则an=0，与数列各项均为正数矛盾！
∴4Sn+4S(n-1)-4=0，即：Sn+S(n-1)=1
∴S(n-1)+S(n-2)=1
∴上述两式相减，得：an+a(n-1)=0，∴an=-a(n-1)
∴{an}是等比数列，而令n=1得：(a1-2)²+3(a1)^2=4，∴a1=1
∴an=(-1)^(n-1)
第（2）、（3）问应该比较简单了，还不会或者有问题的话，可以继续追问！

Answer 3

1.
a1=S1=a1^2=T1
(S1-2)²+3T1=4
(a1-2)²+3a1=4,
a1²-a1=0,a1=1