Question

已知,如图,AB是圆O的直径,圆O过AC的中点D,DE切圆O于点D,交BC于点E,(1)求证DE垂直于

已知,如图,AB是圆O的直径,圆O过AC的中点D,DE切圆O于点D,交BC于点E，（1）求证DE垂直于BC，（2）如果CD=4，CE=3，求圆O的半径

Answer 1

(1)
连接OD
△ABC中，D为AC中点，O为AB 中点
OD∥BC
DE切圆O于D
DE⊥OD
DE⊥BC

(2)
AB为直径
BD⊥AD
D为AC中点
AB=BC
RT△CDE∽RT△BCD
CE/CD=CD/BC
3/4=4/BC
BC=16/3
BC=AB=2R
2R=16/3
R=8/3

Answer 2

证明：（1）连接OD，（1分）
∵DE切⊙O于点D，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE=90°，（2分）
又∵AD=DC，AO=OB，
∴OD∥BC，（3分）
∴∠DEC=∠ODE=90°，
∴DE⊥BC；（4分）
（2）连接BD，（5分）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，（6分）
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
又∵DE⊥BC，
△RtCDB∽△RtCED，（7分）
∴ BC/DC=DC/CE，
∴BC= DC²/CE=4²/3=16/3，（9分）
又∵OD= BC，
∴OD= 1/2×16/3＝8/3，
即⊙O的半径为 8/3．（10分）

Answer 3

（1）证明：连接OD，（1分）
∵DE切⊙O于点D，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE=90°，（2分）
又∵AD=DC，AO=OB，
∴OD∥BC，（3分）
∴∠DEC=∠ODE=90°，
∴DE⊥BC；（4分）
（2）解：连接BD，（5分）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，（6分）
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
又∵DE⊥BC，
Rt△CDB∽Rt△CED，（7分）
∴
BC
DC
=
DC
CE
，
∴BC=
DC2
CE
=
42
3
=
16
3
，（9分）
又∵OD=
1
2
BC，
∴OD=
1
2
×
16
3
=
8
3
，
即⊙O的半径为
8
3 ．（10分）