Question

设函数f（x）=-1/3x3+2ax2-3a2x+b（0＜a＜1）。当a=2/3时，关于x的方程f（x）=0在区间[1,3]上恒有两个相异

设函数f（x）=-1/3x3+2ax2-3a2x+b（0＜a＜1）。当a=2/3时，关于x的方程f（x）=0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围。

Answer 1

a=2/3,
f(x)=-1/3 x^3+4/3 x^2-4/3 x+b
f'(x)=-x^2+8x/3-4/3=-1/3*( 3x^2-8x+4)=-1/3*( 3x-2)(x-2)
得极值点x=2/3, 2
极小值f(2/3)=-8/81+1/27-8/9+b=-77/81+b
极大值f(2)=-8/3+16/3-8/3+b=b
又f(1)=-1/3+4/3-4/3+b=-1/3+b
f(3)=-9+12-4+b=-1+b
在[1, 2)上，函数单调增，至多一根
在(2,3]上，函数单调减，至多一根
因此在上述区间上都各有一根,才能满足有2个相异根的条件。
故有：f(1)<=0, f(2)>0, f(3)<=0
即-1/3+b<=0, b>0, -1+b<=0
解得：0<b<=1/3