Question

f（x)=x^2+alnX，求f(x)在[1，e]上的最小值及相应x值

Answer 1

对f（x)=x^2+alnX求导得
f ‘（x)= 2X+a/X
当a》0时， f ‘（x)》0， f（x)递增
f（1)=1 f（e)=e^2+1
当a<0时， 令f ‘（x)=0得
X=√-a/2
当-2<a<0时，X=√-a/2 在区间（0,1）内，f（x)在【1，e】上单调
f（1)=1 f（e)=e^2+1
当-2e^2<a<-2时，X=√-a/2 在区间（1,e）内 ，f（x)在X=√-a/2处最小，f（√-a/2)=-a/2-a/2ln(-a/2)
当a<-2e^2时，X=√-a/2 在区间（e,+∞）内，f（x)在【1，e】上单调
f（1)=1 f（e)=e^2+1

所以，当-2e^2<a<-2时，X=√-a/2，f（√-a/2)=-a/2-a/2ln(-a/2)
当a<-2e^2和a>-2时，X=1， f（1)=1

Answer 2

f(x)这个函数可以看成g(x) = x^2和h(x)=a*ln（x）这两个函数之和。
因为g(x)和h(x)这两个函数在[1,e]上为都为增函数，所以f(x)这个函数在该区间也为增函数，所以当x=1时取得最小值，最小值为f(1) = 1。