Question

定积分证明题

设f(x)在区间[a,b]上连续且单调减少,F(X)= ∫ (x,a)f(t)dt /x-a ,证明F(X)也在[A,B]上单调减少

Answer 1

题目积分限应该是下限a到上限x吧!否则结论是链嫌单调增加的!
因为F(x)= ∫ (a,x)f(t)dt /(x-a)
所以F'(x)=[f(x)*(x-a)-(∫ (a,x)f(t)dt)*(x-a)'] /(x-a)^2
=[ f(x)*(x-a)-∫ (a,x)f(t)dt] /(x-a)^2
因为f(x)在区间[a,b]上连续且单调减搏袭少,a<x<=b.
故在区间[a,x],且有f(x)<f(a).
由估值定理得:∫(a,x)f(t)dt>=f(x)(x-a),
得基唤兄f(x)*(x-a)-∫ (a,x)f(t)dt<=0.
又(x-a)^2>0,
所以F'(x)<=0.
故F(x)也在[a,b]上单调减少.