Question

帮忙解一道高数题

设函数f(x)连续，且f(x)=x/(1+x^2)+(1-x^2)^1/2∫(0,1)f(x)dx,求∫(0,1)f(x)dx

Answer 1

首先
你要明确一点
∫(0,1)f(x)dx是一个常数
。如果你想不到这一点可能这道题就做不出来
``
因为是常数
所以
把它设为一个字母比如
∫(0,1)f(x)dx=a
(这样可以使它看起来更简单
,问题就变成了求a的值)
所以原式
f(x)=x/(1+x^2)+(1-x^2)^1/2
a
这个时候
需要对这个方程两边从0到1对方程两边进行积分
∫(0,1)f(x)dx=
∫(0,1)
x/(1+x^2)+(1-x^2)^1/2
a
dx
始终不要忘记
∫(0,1)f(x)dx=a
是一个常数
于是方程就变为
a=∫(0,1)
[x/(1+x^2)+(1-x^2)^1/2
a]
dx
把等式右边拆开
则a=
∫(0,1)
x/(1+x^2)dx+a
∫(0,1)(1-x^2)^1/2
dx
因为
∫(0,1)
x/(1+x^2)dx=1/2∫(0,1)
1/(1+x^2)d
x^2
=ln
(1+x^2)(0,1)=
ln2
(凑微分法)
又因为
∫(0,1)(1-x^2)^1/2
dx=1/2arcsin
x+x/2(1-x^2)^1/2=π/4
(三角代换)
所以
原等式变为
a=π/4
a
+ln2
a=ln2
/(1-π/4)
所以
∫(0,1)f(x)dx=a
=ln2
/(1-π/4)
我真心怀疑我算错了
```不过方法是对的
``