Question

已知函数f（x）=ax2+2In（1-x）（a为实数）．（1）若f（x）在[-3...

已知函数f（x）=ax2+2In（1-x）（a为实数）． （1）若f（x）在[-3，-2 ）上是增函数，求实数a的取值范围； （2）设f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）max=1-22，求出a的值．

Answer 1

解：（1）由题意得f'（x）≥0，对一切x∈[-3，-2）恒成立，
即2ax-21-x≥0对一切x∈[-3，-2）恒成立．（2分）
∴2ax≥21-x，a≤1-x2+x=1-(x-12)2+14，（3分）
当x∈[-3，-2）时，-（x-12）2+14＜-6，
∴1-(x-12)2+14＞-16
∴a≤-16，所以a的取值范围是（-∞，-16]．（6分）
（2）因为f'（x）=2ax-21-x，
当a≤0时，则f'（x）为单调递减函数，没有最大值．（8分）
当a＞0时，∵x＜1∴2a（1-x）＞0，21-x＞0，∴f'（x）≤2a-24a．（10分）
由2a（1-x）=21-x得，x=1±1a
由于x=1+1a＞1，舍去．
所以当x=1-1a时，f'（x）max=2a-24a．（11分）
令2a-24a=1-22，解得a=12或a=92-22，即为所求．（12分）