Question

求不定积分1/x+根号下1-x^2

Answer 1

令x＝sinu，则：u＝arcsinx，dx＝cosudu。
∴∫｛1/［x＋√（1－x^2）］｝dx
＝∫［1/（sinu＋cosu）］cosudu
＝∫［cosu/（sinu＋cosu）］du。
＝（√2/2）∫｛cosu/［（√2/2）sinu＋（√2/2）cosu］｝du
＝（√2/2）∫｛cos（u＋π/4－π/4）/［（sinucos（π/4）＋cosusin（π/4）］｝d（u＋π/4）
＝（√2/2）∫｛［cos（u＋π/4）cos（π/4）＋sinusin（π/4）］/sin（u＋π/4）｝d（u＋π/4）
＝（1/2）∫｛［cos（u＋π/4）＋sin（u＋π/4）］/sin（u＋π/4）｝d（u＋π/4）
＝（1/2）∫［cos（u＋π/4）/sin（u＋π/4）］d（u＋π/4）＋（1/2）∫d（u＋π/4）
＝（1/2）∫［1/sin（u＋π/4）］d［sin（u＋π/4）］＋（1/2）（u＋π/4）
＝（1/2）ln｜sin（u＋π/4）｜＋（1/2）u＋C
＝（1/2）arcsinx＋（1/2）ln｜sinucos（π/4）＋cosusin（π/4）｜＋C
＝（1/2）arcsinx＋（1/2）ln［（√2/2）｜sinu＋cosu｜］＋C
＝（1/2）arcsinx＋（1/2）ln（√2/2）＋（1/2）ln｜x＋√（1－x^2）｜＋C
＝（1/2）arcsinx＋（1/2）ln｜x＋√（1－x^2）｜＋C

Answer 2

令x=sint
$[1/(x+sqr(1-x^2)]dx
=$[1/(sint+cont)]dsint
=$1/sqr(2)sin(x+圆周率/4)dsinx
=lnsin(x+圆周率/4)/sqr(2)+c
=sqr(2)lnsin(x+圆周率/4)/2+c

追问

答案不对吧，应该是1/2(arcsinx+ln(x+根号下1-x^2))+c

追答

令x=sint
$[1/(x+sqr(1-x^2)]dx
=$[1/(sint+cont)]dsint
=$1/sqr(2)sin(x+圆周率/4)dsinx
=lnsin(t+圆周率/4)/sqr(2)+c
=sqr(2)lnsin(t+圆周率/4)/2+c=sqr(2)lnsin(arcsinx+圆周率/4)/2+c再化简便是。