Question

已知数列[AN]的前N项和为SN且A1＝1SN＝N²AN[N∈N'] 猜想SN的表达式并验证

Answer 1

已知数列[An]的前n项和为Sn且A1＝1，Sn＝n²An[n∈N'] 猜想Sn的表达式并验证

Sn=2n/(n+1)

证明：
Sn=n²An
S(n-1)=(n-1)²*A(n-1)
Sn-S(n-1)=n²An-(n-1)²*A(n-1) =An
(n²-1)An=(n-1)²*A(n-1)
(n+1)An=(n-1)A(n-1) 依次类推
nA(n-1)=(n-2)A(n-2)
(n-1)A(n-2)=(n-3)A(n-3)
……
5A4=3A3
4A3=2A2
3A2=1A1
两边相乘抵消后：
3×4×5×……×(n-1)n(n+1)An=1×2×3×……×(n-3))(n-2))(n-1)A1
n(n+1)An=2A1
An=2A1/[n(n+1)]=2/[n(n+1)]
Sn=n²An=2n²/[n(n+1)]=2n/(n+1)