Question

求解一道求极限的题

答案是对的，过程有错漏，满分11分所以扣了5分
THX.

Answer 1

此题的条件中只有 f(x) 在 x=0 处可导，但 f(0)等于多少没有说，你要先证明 f(0)=0,
应该这样：
因为：lim(x->0) sinx / (e^(2f(x))-1) = 1 ，分子->0 故分母也应该 -> 0， 而e^(2f(x))-1 ->0 ，只有
f(x) -> 0 ，又f(x)可导，故必连续，因此 f(0)=0, 原极限为 0 / 0 型，用等价无穷小代换，再用你的结果就行了。

Answer 2

要严格的话，直接按定义以及极限的四则运算就可以了。
首先，易知f(0)=0；

当x趋于0时，f'(0)=lim (f(x)-f(0))/x
=lim f(x)/x
=lim f(x)/sinx *lim sinx/x
=lim f(x)/e^(2f(x)-1)*lim e^(2f(x)-1)/sinx
=lim y/[e^(2y)-1]*1 y=f(x)是趋于0的。

=1/2.
另外，从你的证明过程看，其实只是少一一步：证明f(0)=0；
有了这一步，就应该不会再扣分了。

Answer 3

求导为0/0型，分子分母同时求导
cosx
l im ----------------------=1
x→0 e^(2f(x))*2f'(x)

cosx
l im ----------------------=f'(x)
x→0 e^(2f(x))*2 x→0

l im cosx→1 l im e^(2f(x))→1
x→0 x→0
1
f'(x)=--------- f'(0)=1/2
x→0 1*2