Question

微积分证明题：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，下面不等式是否成立，成立证明，不成立举反例

PS:贡献大部分财富分，可追加，只求完美地解决问题。

Answer 1

这就是Cauchy——Schwartz不等式。
证明：令h(x)=f(x)+tg(x)，t是实数；
则积分(从a到b)h(x)^2dx>=0，即
积分(从a到b)f^2(x)dx+2t*积分(从a到b)f(x)g(x)dx+t^2*积分(从a到b)g^2(x)dx>=0 (*)

对任意的实数t成立。
若积分(从a到b)g^2(x)dx=0，则（*）式要想对任意的t成立必须有
积分(从a到b)f(x)g(x)=0，于是原不等式成立。
若积分(从a到b)g^2(x)dx>0，则(*)式是一个关于t的二次函数，要想对
所有的t成立，必须且只须判别式<=0。
判别式=4(积分(从a到b)f(x)g(x)dx)^2-4*积分(从a到b)f^2(x)dx*积分(从a到b)g^2(x)dx，
由此得不等式成立。

追问

您看错了吧……式子右边是[∫a..b f(x) dx]^2....
平方在积分外面。

追答

那真是不好意思。确实看错了。
那肯定结论不成立。
随便取个对称区间，比如【-1,1】
任取奇函数f(x)，g(x)=f(x)，比如f(x)=g(x)=x，则
不等式右边是0，左边不是0，不等式不成立。