Question

求分解因式奥数题

求方程6xy+4x-9y-7=0的整数解
以知a,b,c,d为非负整数,且ab+bd+ad+bc=1997,则a+b+c+d=______
以知正数a,b,c满足ab+a+b=bc+b+c=ac+c+a=3,则(a+1)(b+1)(c+1)=______
整数a,b满足6ab=9a-10b+303,则a+b=_______
证明:当n为自然数时,2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差.
解出一题给5分.

Answer 1

1.6xy+4x-9y-7
＝3y(2x-3)+2（2x-3）-1
＝（2x-3）（3y+2)-1＝0

所以（2x-3）（3y+2)＝1

因为方程6xy+4x-9y-7=0的整数解

所以2x-3和3y+2也为整数

所以2x-3＝3y+2＝1 或者2x-3＝3y+2＝-1

x1=2,y1=-1/3不合题意舍去

x2=1,y2=-1
所以
方程6xy+4x-9y-7=0的整数解为x＝1，y＝-1

2.
ac+bd+ad+bc
=(ac+ad)+(bd+bc)
=a(c+d)+b(d+c)
=(a+b)*(c+d),
而1997是质数,所以a+b与c+d只能够分别是1和1997,
a+b+c+d=1+1997=1998.

3.
在等号两边的所有式子上加1.即
ab+a+b+1=bc+b+c+1=ac+a+c+1=3+1=4
然后所有字母式子因式分解得
(a+1)(b+1)=(b+1)(c+1)=(c+1)(a+1)=4
而(a+1)(b+1)(c+1)＝〔(a+1)(a+1)(b+1)(b+1)(c+1)(c+1)〕^(1/2)=(4*4*4)^(1/2)=8

4.
在已知方程6ab=9a-10b+303中,除10b项外都有因数3,因此b应是3 的倍数,即b=3k
将b=3k代入原方程,解出a=(101-10k)/(3*(2k-1)),在该式的分子中,只有k=2,5,8时,分子才含有因数3,经验算,只有k=2时,a为整数,这时,a=9,b=6,a+b=15

5.
设整数数a，b。假设2（2N+1）能表示成两个整数的平方差，则有：
a^2-b^2＝2（2N+1）＝（a+b）*（a-b）。
设正数m，2*（2N+1）＝2m*（2N+1）/m，
即a+b＝2m，a-b＝（2N+1）/m，
（a+b）+（a-b）＝2m+（2N+1）/m＝2a。
因为2N+1是一个奇数，所以当m不等于1/2时，（2m+（2N+1）/m）/2是一个小数，不成立，当m等于1/2时，2m是一个奇数，
（2m+（2N+1）/m）/2也是一个小数，不成立。
综上所述，当N为自然数时,2(2N+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差 。