Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+√2ab=c2...

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+√2ab=c2． （1）求C； （2）设cosAcosB=3√25，cos(α+A)cos(α+B)cos2α=√25，求tanα的值．

Answer 1

解：（1）∵a2+b2+√2ab=c2，即a2+b2-c2=-√2ab，
∴由余弦定理得：cosC=a2+b2-c22ab=-√2ab2ab=-√22，
又C为三角形的内角，
则C=3π4；
（2）由题意cos(α+A)cos(α+B)cos2α=(cosαcosA-sinαsinA)(cosαcosB-sinαsinB)cos2α=√25，
∴（cosA-tanαsinA）（cosB-tanαsinB）=√25，
即tan2αsinAsinB-tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB-tanαsin（A+B）+cosAcosB=√25，
∵C=3π4，A+B=π4，cosAcosB=3√25，
∴sin（A+B）=√22，cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=3√25-sinAsinB=√22，即sinAsinB=√210，
∴√210tan2α-√22tanα+3√25=√25，即tan2α-5tanα+4=0，
解得：tanα=1或tanα=4．