Question

求个不定积分，分子是1，分母是sinx(1+sinx的平方)。谢谢啊

Answer 1

∫1/sinx(1+sin²x)dx
=∫sinx/sin²x(1+sin²x)dx
=∫-1/sin²x(1+sin²x)dcosx
=∫[1/(1+sin²x)-1/sin²x]dcosx
=∫1/(2-cos²x)dcosx-∫1/(1-con²x)dcosx
=∫1/(2√2-2√2cosx)dcosx+∫1/(2√2+2√2cosx)dcosx-∫1/(2-2consx)dcosx-∫1/(2+2consx)dcosx
=-ln(1-cosx)/2√2+ln(1+cosx)/2√2+ln(1-cosx)/2-ln(1+cosx)/2+C
=ln[(1+consx)/(1-consx)]/2√2+ln[(1-cosx)/(1+cosx)]/2+C

Answer 2

= 1/2*ln[(cos(x)-1)/(1+cos(x))]+√2/2*atanh(√2/2*cos(x))+常数