Question

计算半立方抛物线 y^2=2/3(x-1)^3被抛物线y^2=x/3 截得的一段弧的长度

Answer 1

解：联立y^2=2/3(x-1)^3和y^2=x/3得

2(x-1)^3=x

令x-1=t，得2t^3=t+1

2t^3-t-1=0

2t^3-2t+t-1=0

2t(t^2-1)+(t-1)=0

2t(t+1)(t-1)+(t-1)=0

(t-1)[2t(t+1)+1]=0

(t-1)(2t^2+2t+1)=0

得t=1（2t^2+2t+1=0无解）

故x=t+1=1+1=2,y=±√(2/3)=±√6/3

半立方抛物线y^2=2/3(x-1)^3，两边对x求导得

2y*dy/dx=2/3*3(x-1)^2=2(x-1)^2

y'=dy/dx=(x-1)^2/y

于是√(1+y'^2)=√[1+(x-1)^4/y^2]=√{1+(x-1)^4/[2/3*(x-1)^3}=√[(3x-1)/2]

则该段圆弧长度L=2∫(x:0,2)√(1+y'^2)dx

=2∫(x:1,2) √[(3x-1)/2]dx

=2*√(3/2)*∫(x:1,2) √(x-1/3)dx

=√6*2/3*(x-1/3)^(3/2)|(x;1,2)

=2(5√10-4)/9

抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。

扩展资料：

抛物线是一个平面曲线，它是镜像对称的，并且当定向大致为U形（如果不同的方向，它仍然是抛物线）。它适用于几个表面上不同的数学描述中的任何一个，这些描述都可以被证明是完全相同的曲线。

对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2。

开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。

抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（该线）。焦点并不在于准则。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由右圆锥形表面和平行于与锥形表面相切的另一平面的平面的交点形成。第三个描述是代数。

经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。

参考资料来源：百度百科——抛物线

Answer 2

解：联立y^2=2/3(x-1)^3和y^2=x/3得
2(x-1)^3=x
令x-1=t，得2t^3=t+1
2t^3-t-1=0
2t^3-2t+t-1=0
2t(t^2-1)+(t-1)=0
2t(t+1)(t-1)+(t-1)=0
(t-1)[2t(t+1)+1]=0
(t-1)(2t^2+2t+1)=0
得t=1（2t^2+2t+1=0无解）
故x=t+1=1+1=2,y=±√(2/3)=±√6/3
半立方抛物线y^2=2/3(x-1)^3，两边对x求导得
2y*dy/dx=2/3*3(x-1)^2=2(x-1)^2
y'=dy/dx=(x-1)^2/y
于是√(1+y'^2)=√[1+(x-1)^4/y^2]=√{1+(x-1)^4/[2/3*(x-1)^3}=√[(3x-1)/2]
则该段圆弧长度L=2∫(x:0,2)√(1+y'^2)dx
=2∫(x:1,2) √[(3x-1)/2]dx
=2*√(3/2)*∫(x:1,2) √(x-1/3)dx
=√6*2/3*(x-1/3)^(3/2)|(x;1,2)
=2(5√10-4)/9
不明白请追问。

追问

- -我还没看，不过先看了答案 是8（（5/2)^(3/2)-1)/9……

追答

8（（5/2)^(3/2)-1)/9=2(5√10-4)/9
你自己化简下看看就知道了。

Answer 3

y^2=2/3*(x-1)^3和y^2=x/3联立求解交点坐标，得：（2， sqrt(2/3)）,由于半立方抛物线在x轴以下无意义，所以，所截弧应从(1,0)到(2, sqrt(2/3)),
半立方抛物线y^2=2/3*(x-1)^3对x求导，y’=(x-1)^2/y,则弧长等于sqrt(1+y’^2)从1到2对x的定积分, sqrt(1+x’^2)= sqrt(1+(x-1)^4)/y^2)= sqrt(1+3/2*(x-1)) = sqrt(3/2*x-1/2))
∫sqrt(3/2*x-1/2))dx=4/9*(3/2*x-1/2)^(3/2)(x从1到2)=5/9*sqrt(10)-4/9