Question

这个数列极限的不等式是什么性质？

如图，方框内的不等式是用了什么性质？请详细解释一下，最好写在纸上

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Answer 1

放缩法。ln(1+x)≤x1/n^2≤1/n(n-1)第一个不等式可以用函数构造法。令F(x)=ln(1+x)-x求导：F'(x)=1/(1+x)-1≤0,当x≥0则F(x)在定义域内单调递减，则在x=0取得最大值，所以F(x)max=F(0)=0所以ln(1+x)≤x第二个不等式，直接相减1/n^2-1/n(n-1)=1/n/［1/n-1/(n-1)］因为1/n<1/(n-1)所以1/n^2≤1/n(n-1)《不是我答的其实》

Answer 2

ln(1+x)<x啊，这个很容易证明，f(x)=ln(1+x)-x, f'(x)=1/(1+x)-1 = -x/(1+x)<0函数单调减
而f(0)=0，所以当x>0时，ln(1+x) <x

Answer 3

构造f(x)=ln(1+x)-x函数，然后求导一下，并无较大困难。

Answer 4

放缩法。
ln(1+x)≤x
1/n^2≤1/n(n-1)

第一个不等式可以用函数构造法。令
F(x)=ln(1+x)-x
求导：F'(x)=1/(1+x)-1≤0,当x≥0
则F(x)在定义域内单调递减，
则在x=0取得最大值，所以
F(x)max=F(0)=0
所以ln(1+x)≤x

第二个不等式，直接相减
1/n^2-1/n(n-1)=1/n/［1/n-1/(n-1)］
因为1/n<1/(n-1)
所以1/n^2≤1/n(n-1)

追问

这个过程是什么？